【题目】如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．

（1）当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分．

（2）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时CP的长；（说明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

（3）当t为何值时，△BCP为等腰三角形？

参考答案：

【答案】（1）6秒；（2）5cm；（3）当t=3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形．

【解析】分析：（1）先由勾股定理求出△ABC的斜边AB=10cm，则△ABC的周长为24cm，所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm，再根据时间=路程÷速度即可求解；

（2）根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；

（3）△BCP为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BC=BP；③PB=PC．

详解：（1）△ABC中，∵∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，

∴AB=10cm，

∴△ABC的周长=8+6+10=24cm，

∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm，

∴t=12÷2=6（秒）；

（2）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时CA+AP=8+5=13（cm），∴t=13÷2=6.5（秒），

∴CP=AB=×10=5cm；

（3）△BCP为等腰三角形时，分三种情况：

①如果CP=CB，那么点P在AC上，CP=6cm，此时t=6÷2=3（秒）；

如果CP=CB，那么点P在AB上，CP=6cm，此时t=5.4（秒）

（点P还可以在AB上，此时，作AB边上的高CD，利用等面积法求得CD=4.8，再利用勾股定理求得DP=3.6，所以BP=7.2，AP=2.8，所以t=（8+2.8）÷2=5.4（秒））

②如果BC=BP，那么点P在AB上，BP=6cm，CA+AP=8+10-6=12（cm），此时t=12÷2=6（秒）；

③如果PB=PC，那么点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点，此时CA+AP=8+5=13（cm），

t=13÷2=6.5（秒）；

综上可知，当t=3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形．

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