Question

【题目】如图，抛物线y= x2+bx+c过点A（0，﹣6）、B（﹣2，0），与x轴的另一交点为点C．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）将直线AC向下平移m个单位，使平移后的直线与抛物线有且只有一个公共点M，求m的值及点M的坐标；
（3）抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：把点A（0，﹣6）、B（﹣2，0）代入抛物线y= x2+bx+c中得：

，

解得： ，

∴抛物线的解析式为：y= x2﹣2x﹣6；

（2）解：y= x2﹣2x﹣6，

当y=0时， x2﹣2x﹣6=0，

解得：x1=﹣2，x2=6，

∴C（6，0）；

设直线AC的解析式为：y=kx+b，

则 ，

解得： ，

∴直线AC的解析式为：y=x﹣6，

直线AC向下平移m个单位后的直线关系式为：y=x﹣6﹣m，

∵平移后的直线与抛物线有且只有一个公共点M，

则 ，

得： =0，

△=（﹣3）2﹣4× m=0，

m= ，

代入得：y=x﹣6﹣m=x﹣ ，

则 ，

解得： ，

∴M（3，﹣ ）；

（3）解：分三种情况：

①当∠PAC=90°时，如图1，

∵OA=OC=6，∠AOC=90°，

∴△AOC是等腰直角三角形，

∴∠ACO=45°，

∴△EAC是等腰直角三角形，

∴AE=AC，

∴OE=OC=6，

∴E（﹣6，0），

设AE：y=kx+b，

则 ，解得： ，

∴直线AE的解析式为：y=﹣x﹣6，

则 ，

﹣2x﹣6=﹣x﹣6，

解得：x1=0（舍），x2=2，

∴P（2，﹣8），

②当∠ACP=90°时，如图2，

∠PCB=90°﹣45°=45°，

过P作PE⊥BC于E，

∴△PEC是等腰直角三角形，

∴PE=EC，

设P（x， x2﹣2x﹣6），

∴PE= x2﹣2x﹣6，EC=﹣x﹣6，

∴ x2﹣2x﹣6=﹣x﹣6，

解得：x1=6，x2=﹣4，

∵P在第二象限，

∴x=6不符合题意，舍去，x=﹣4，

∴P（﹣4，10），

③以AC为直径画圆，交抛物线于两点P1、P2，如图3，

则∠AP1C=∠AP2C=90°，

∵ = ，

= ，

AC2=62+62=72，

由勾股定理得： + =72，

化简得：x3﹣8x2+8x+24=0，

x3﹣2x2﹣4x﹣（6x2﹣12x﹣24）=0，

x（x2﹣2x﹣4）﹣6（x2﹣2x﹣4）=0，

（x﹣6）（x2﹣2x﹣4）=0，

解得：x1=6（舍），x2=1+ ，x3=1﹣ ，

∴P（1+ ，﹣5﹣ ）或（1﹣ ，﹣5+ ），

综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为：（2，﹣8），（﹣4，10），（1+ ，﹣5﹣ ），（1﹣ ，﹣5+ ）．

【解析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）由直线向下平移m个单位得：y=x﹣6﹣m，由直线与抛物线有且只有一个公共点M可知：由解析式列方程组根据△=0，可得结论；（3）分三种情况：①当∠PAC=90°时，如图1，由△EAC是等腰直角三角形，可得E（﹣6，0），直线AP与抛物线的交点就是P，列方程组可得P的坐标；②当∠ACP=90°时，如图2，由PE=EC，列式： x2﹣2x﹣6=﹣x﹣6，解出即可；③当APC=90°时，如图3，画圆，根据直径所对的圆周角是直角可知，有两个点符合，设出点P的坐标，然后表示出AC2、PA2、PC2的值，根据勾股定理可得到关于P点横、纵坐标的等量关系式，联立抛物线的解析式，即可求出此时点P的坐标．