Question

【题目】如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中，则下列结论：
①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PEBF；⑤线段MN的最小值为 ．
其中正确的结论有（ ）

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

Answer 1

【答案】D
【解析】解：如图，

∵动点F，E的速度相同，

∴DF=CE，

又∵CD=BC，

∴CF=BE，

在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正确；

∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故②正确；

∵∠BAE+∠BEA=90°，

∴∠CBF+∠BEA=90°，

∴∠APB=90°，故③正确；

在△BPE和△BCF中，

∵∠BPE=∠BCF，∠PBE=∠CBF，

∴△BPE∽△BCF，

∴ = ，

∴CFBE=PEBF，

∵CF=BE，

∴CF2=PEBF，故④正确；

∵点P在运动中保持∠APB=90°，

∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，

设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，

在Rt△BCG中，CG= = = ，

∵PG= AB= ，

∴CP=CG﹣PG= ﹣ = ，

即线段CP的最小值为 ，故⑤正确；

综上可知正确的有5个，

故选D．

【考点精析】解答此题的关键在于理解正方形的性质的相关知识，掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．