Question

【题目】如图，已知Rt△ABC的直角边AC与Rt△DEF的直角边DF在同一条直线上，且AC=60cm，BC=45cm，DF=6cm，EF=8cm．现将点C与点F重合，再以4cm/s的速度沿

CA方向移动△DEF；同时，点P从点A出发，以5cm/s的速度沿AB方向移动．设移动时间为t（s），以点P为圆心，3t（cm）长为半径的⊙P与直线AB相交于点M，N，当点F与点A重合时，△DEF与点P同时停止移动，在移动过程中：

（1）连接ME，当ME∥AC时，t=________s；

（2）连接NF，当NF平分DE时，求t的值；

（3）是否存在⊙P与Rt△DEF的两条直角边所在的直线同时相切的时刻？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】

【解析】试题分析：（1）作，垂足为，作 垂足为．首先可求得的正弦和余弦值，在中可求得的长，然后再求得的长，接下来，再求得的长，最后依据列方程求解即可；
（2）连结NF交DE与点G，则G为DE的中点．先证明从而可证明 然后再证明是直角三角形，然后利用锐角三角函数的定义可求得AF的长，然后依据列方程求解即可；
（3）如图3所示：过点P作，垂足为H，当与EF相切时，且点为G，连结PG．先证明，然后可得到 然后依据列方程求解即可；如图4所示：连接GP，过点P作 垂足为H．先证明，然后可得到 然后依据列方程求解即可．

试题解析：(1)如图1所示：作MH⊥AC，垂足为H，作OG⊥AC，垂足为G.

∵在Rt△ABC中，AC=60，BC=45，

∴AB=75cm.

∴AM=5t3t=2t.

当MEAC时,MH=EF,即 解得

故答案为：

(2)如图2所示：连结NF交DE与点G，则G为DE的中点,

∵AC=60cm，BC=45cm，DF=6cm，EF=8cm，

又

∴△EDF∽△ABC.

∴∠A=∠E.

∵E是DE的中点，

∴∠DFD=∠GDF.

又∵FC=4t，

∴10t+4t=60,解得

(3)如图3所示：过点P作PH⊥AC，垂足为H，当⊙P与EF相切时，且点为G，连结PG.

∵EF是⊙P的切线，

∴四边形PGFH为矩形,

∴PG=HF.

∵⊙P的半径为3t,

∴PH=3t.

∴⊙P与AC相切,

∵EF为⊙P的切线，

∴PG⊥EF.

∴HF=PG=3t.

∵AH=45AP=4t，FC=4t，

∴4t+3t+4t=60,解得

如图4所示：连接GP，过点P作PH⊥AC，垂足为H.

由题意得可知：AH=4t，CF=4t.

∵EF是⊙P的切线，

∴四边形PGFH为矩形,

∴PG=HF.

∵GP=FH，

∴FH=3t.

∴4t+4t3t=60，解得：t=12.

综上所述,当t的值为或12时，⊙P与Rt△DEF的两条直角边所在的直线同时相切.