Question

【题目】如图1，点为正方形的边上一点，，且，连接．

(1)求的度数；

(2)如图2，连接交于，交于．

求证：．

Answer 1

【答案】（1）135°；（2）见详解．

【解析】

（1）过点F作FM⊥AB交AB的延长线于点M，证明△EBC△FME，即可解决问题；
（2）过点F作FG//AB交BD于点G．先证明四边形ABGF为平行四边形，再证明△FGM△CDM，即可解决问题．

（1）过点F作FM⊥AB交AB的延长线于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠M＝∠CEF＝90°，
∴∠MEF+∠CEB＝90°，∠CEB+∠BCE＝90°，
∴∠MEF＝∠ECB，
∵EC＝EF，
∴△EBC△FME(AAS) ，
∴FM＝BE，EM＝BC，
∵BC＝AB，
∴EM＝AB，
∴EMAE＝ABAE，
∴AM＝BE，
∴FM＝AM，
∵FM⊥AB，
∴∠MAF＝45°，
∴∠EAF＝135°；

（2）过点F作FG//AB交BD于点G．
由（1）可知∠EAF＝135°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠EAF+∠ABD＝180°，
∴AF//BG，
∵FG//AB，
∴四边形ABGF为平行四边形，
∴AF＝BG，FG＝AB，
∵AB＝CD，
∴FG＝CD，
∵AB//CD，
∴FG//CD，
∴∠FGM＝∠CDM，
∵∠FMG＝∠CMD
∴△FGM△CDM(AAS)，
∴GM＝DM，
∴DG＝2DM，
∴BD＝BG+DG＝AF+2DM．