Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于E，点F在AD上，且AF=AB，连接EF．

（1）判断四边形ABEF的形状并证明；

（2）若AE、BF相交于点O，且四边形ABEF的周长为20，BF=6，求AE的长度及四边形ABEF的面积．

Answer 1

【答案】（1）四边形ABEF是菱形；理由见解析；（2）AE=8；四边形ABEF的面积是24．

【解析】

（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB，证出BE=AB，由AF=AB

得出BE=AF，即可得出结论．

（2）根据菱形的性质可得AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，利用勾股定理计算出AO的

长，进而可得AE的长．菱形的面积=对角线乘积的一半．

（1）四边形ABEF是菱形；理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴BE=AB，

由（1）得：AF=AB，

∴BE=AF，

又∵BE∥AF，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AF=AB，

∴四边形ABEF是菱形；

（2）∵四边形ABEF为菱形，

∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，

在Rt△AOB中，

∴AE=2AO=8．

∴四边形ABEF的面积为：

综上所述，AE=8；四边形ABEF的面积是24．