Question

【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB＝60°，则称P为⊙C的可视点．

（1）当⊙O的半径为1时，

①在点、E(1，1)、F(3，0)中，⊙O的可视点是______．

②过点M(4，0)作直线l：y=kx+b，若直线l上存在⊙O的可视点，求b的取值范围；

（2）若T(t，0)，⊙T的半径为1，直线y=上存在⊙T的可视点，且所有可视点构成的线段长度为n，若，直接写出t 的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①D、E，②；（2）或

【解析】

（1）①根据题意举例说明即可；

②当直线l与半径为2的⊙O相切时，利用sin∠AMO＝，可求得∠AMO＝30°，进而可求得OE长，从而可得b的取值范围；

（2）当t＞0时，先求直线y＝与半径为2的⊙T相切时的t的值，再求直线y＝与半径为2的⊙T相交且所截线段长为时的t的值，进而求得t的取值范围．

解：（1）①如图，过点D作DA∥x轴，DB∥y轴，可得∠ADB＝90°，当点A、B在圆上越来越靠近时，∠ADB可以为60°，则点D是可视点；

如图，过点E作⊙O的切线EA、EB，则∠OAE＝∠OBE ＝90°

又∵∠AOB＝90°，∴∠E＝90°，

当点A、B在圆上越来越靠近时，∠AEB可以为60°，则点E是可视点；

由题意可知，当点P在⊙O外时，过点P作⊙O的切线PA、PB，则此时∠APB最大，若∠APB≥60°，则⊙O上一定存在两个点A、B，使得∠APB＝60°．

如图，过点P作⊙O的切线PA、PB，当∠APB＝60°时，则∠APO＝∠BPO＝30°，

在Rt△AOP中，sin∠APO＝，

∵OA＝1，

∴OP＝2

∴当OP≤2时，⊙O一定有可视点，当OP＞2时，⊙O没有可视点．

∵点F（3,0），

∴OF＝3＞2，

∴点F不是可视点

故答案为：D、E．

②由①得，若直线l上存在⊙O的可视点，则直线l与半径为2的⊙O相切或相交；

如图，当直线l与半径为2的⊙O相切时，

∵M(4，0)，

∴OM＝4，

∴在Rt△AOM中，sin∠AMO＝，

∴∠AMO＝30°，

∴在Rt△EOM中，tan∠EMO＝，

∴，

∴若直线l上存在⊙O的可视点，求b的取值范围为；

（2）当y＝0时，＝0，

解得，x＝，则直线l与x轴的交点坐标为（，0），

当x＝0时，y＝，则直线l与y轴的交点坐标为（0，），

∵直线y＝上存在⊙T的可视点，且⊙T的半径为1，

∴直线y＝与半径为2的⊙T相交或相切

当t＞0时，

如图，当直线y＝与半径为2的⊙T相切时，

∵E（0，），F（，0），

∴OE＝，OF＝，

∴在Rt△EOF中，tan∠EFO＝，

∴∠TFG＝∠EFO＝60°，

∵T（t，0），

∴TF＝，

∴在Rt△TGF中，sin∠TFG＝，

∴，

如图，当直线y＝与半径为2的⊙T相交且CD＝时，

过点T作TH⊥CD，则

在Rt△THD中，cos∠TDH＝，

∴∠TDH＝30°，

又∵∠TFD＝60°，

∴∠DTF＝90°，

∴在Rt△TFD中，，

∴，

∵，

∴，

同理，当t＜0时，

综上所述，t的取值范围为：或