Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax22a2x(a0)的对称轴与x轴交于点P．

（1）求点P的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）记函数y=x+2(1x2)的图象为图形M，若抛物线与图形M恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（a，0）；（2）a≤或a＞0

【解析】

（1）令y＝0，求得抛物线与x轴的两个交点坐标，进而求得点P坐标；

（2）根据抛物线与图形M恰有一个公共点，结合图像可知当x＝－1或当x＝2时，这两个函数值的大小关系恰好相反，然后通过解不等式组即可求得a的取值范围．

解：（1）y＝ax22a2x＝ax(x2a)

令y＝0，则x1＝0，x2＝2a，

∴对称轴为x＝，

∴点P的坐标为（a，0）

（2）设y1＝ax22a2x，y2＝x＋2(1x2)

∴当x＝－1时，y1＝a＋2a2，y2＝3，

当x＝2时，y1＝4a－4a2，y2＝0，

∵抛物线与图形M恰有一个公共点，

∴抛物线与图形M如图所示：

∴当a＋2a2≥3时，4a－4a2≤0，

则2a2＋a－3≥0，4a2－4a≥0，

∴(2a＋3)(a－1)≥0①，4a(a－1)≥0②，

∴由①得，a≥1或a≤，

由②得，a≥1或a≤0，

∴a≥1或a≤，

当a＋2a2≤3时，4a－4a2≥0，

则2a2＋a－3≤0，4a2－4a≤0，

∴(2a＋3)(a－1)≤0①，4a(a－1)≤0②，

∴由①得，≤a≤1，

由②得，0≤a≤1，

∴0≤a≤1，

∴a≤或a≥0，

又∵a≠0，

∴a的取值范围是：a≤或a＞0．