Question

【题目】如图，△ABC是边长为3的等边三角形，P是AB边上的一个动点，由A向B运动（P不与A、B重合），Q是BC延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由C向BC延长线方向运动（Q不与C重合），

（1）当∠BPQ＝90°时，求AP的长；

（2）过P作PE⊥AC于点E，连结PQ交AC于D，在点P、Q的运动过程中，线段DE的长是否发生变化？若不变，求出DE的长度；若变化，求出变化范围．

Answer 1

【答案】（1）AP＝1；（2）线段DE的长度不会改变；DE＝1.5.

【解析】

（1）作PF∥BC交AC于F，由等边三角形的性质就可以得出△APF是等边三角形，可证△PFD≌△QCD，由直角三角形的性质就可以得出结论；
（2）作QF⊥AC，交直线AC的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=CQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△CQF，再由AE=CF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出AC =EC+AE=CE+CF=EF，故DE=AC，由等边△ABC的边长为3可得出DE=1.5即可．

解：（1）作PF∥BC交AC于F，如图1所示：

∴∠APF＝∠B，∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠CQD，∠PFD＝∠QCD．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC．

∴∠APF＝∠AFP＝∠A＝60°，

∴△APF是等边三角形，

∴AP＝AF＝PF．

∵Q与点P同时出发，速度也相同，

∴AP=CQ,

∴PF=CQ,

∴在△PFD和△QCD中，

，

∴△PFD≌△QCD（ASA），

∴FD＝CD．

∵∠APD＝90°，且∠A＝60°，

∴∠PDA＝30°，

∴AD＝2AP，

∴AD＝2AF．

∵AF+FD＝2AF，

∴FD＝AF．

∴AF＝FD＝CD．

∴AF＝AC．

∵AC＝3，

∴AP＝AF＝1；

（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．DE＝1.5.理由如下：

作QF⊥AC，交直线AC的延长线于点F，连接QE，PF，如图2所示：

又∵PE⊥AB于E，

∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，PE∥QF，

∵点P、Q速度相同，

∴AP＝CQ，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠ABC＝∠FCQ＝60°，

在△APE和△CQF中，

∵∠AEP＝∠CFQ＝90°，

∴∠APE＝∠CQF，

∴在△APE和△CQF中，

，

∴△APE≌△CQF（AAS），

∴AE＝CF，PE＝QF，

∴四边形PEQF是平行四边形，

∴DE＝EF，

∴AC =EC+AE＝CE+CF＝EF，

∴DE＝AC，

又∵AC＝3，

∴DE＝1.5，

∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．