【题目】如图，在⊙O的内接四边形ACDB中，AB为直径，AC：BC=1：2，点D为弧AB的中点，BE⊥CD垂足为E．
（1）求∠BCE的度数；
（2）求证：D为CE的中点；
（3）连接OE交BC于点F，若AB= ，求OE的长度．

参考答案：

【答案】
（1）解：连接AD，

∵D为弧AB的中点，

∴AD=BD，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB=∠DBA=45°，

∴∠DCB=∠DAB=45°


（2）证明：∵BE⊥CD，又∵∠ECB=45°，

∴∠CBE=45°，

∴CE=BE，

∵四边形ACDB是圆O的内接四边形，

∴∠A+∠BDC=180°，

又∵∠BDE+∠BDC=180°，

∴∠A=∠BD，

又∵∠ACB=∠BED=90°，

∴△ABC∽△DBE，

∴DE：AC=BE：BC，

∴DE：BE=AC：BC=1：2，

又∵CE=BE，

∴DE：CE=1：2，

∴D为CE的中点


（3）解：连接EO，

∵CO=BO，CE=BE，

∴OE垂直平分BC，

∴F为BC中点，

又∵O为AB中点，

∴OF为△ABC的中位线，

∴OF= AC，

∵∠BEC=90°，EF为中线，

∴EF= BC，

在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，

∵AC：BC=1：2，AB= ，

∴AC= ，BC=2 ，

∴OE=OF+EF= ．


【解析】（1）连接AD，由D为弧AB的中点，得到AD=BD，根据圆周角定理即可得到结论；（2）由已知条件得到∠CBE=45°，根据圆内接四边形的性质得到∠A=∠BD，根据相似三角形的性质得到DE：AC=BE：BC，即可得到结论．（3）连接CO，根据线段垂直平分线的判定定理得到OE垂直平分BC，由三角形的中位线到现在得到OF= AC，根据直角三角形的性质得到EF= BC，由勾股定理即可得到结论．

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