Question

【题目】某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：

甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形．

乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图1，△ABC是正三角形， ，证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形．

丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形，我想…，边数是7时，它可能也是正多边形．

（1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等；

（2）请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图2）是正七边形；（不必写已知，求证）

（3）根据以上探索过程，提出你的猜想．（不必证明）

Answer 1

【答案】（1）图（1）中六边形各角相等；（2）证明见解析（3）猜想：当边数是奇数时（或当边数是3，5，7，9，时），各内角相等的圆内接多边形是正多边形

【解析】试题分析：（1）由题图①知∠AFC对，∠DAF对，根据已知可得，从而可以得到∠AFC=∠DAF，即可得证；

（2）根据已知条件，结合图形不难得到=，继而得到，同理可得到其它狐之间的相等关系，进而证明结论；

（3），根据已知条件进行分析，结合上面的结论写出猜想即可.

试题解析：（1）由图知∠AFC对，

∵，而∠DAF对的，

∴∠AFC=∠DAF．同理可证，其余各角都等于∠AFC，

故图（1）中六边形各角相等；

（2）∵∠A对，∠B对，

又∵∠A=∠B，

∴，

∴，

同理， ．

（3）猜想：当边数是奇数时（或当边数是3，5，7，9，时），

各内角相等的圆内接多边形是正多边形．