Question

【题目】（1）操作发现：

如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．

（2）问题解决：

保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；

（3）类比探求：

保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值．

Answer 1

【答案】（1）同意，理由见解析；（2）；（3）．

【解析】试题分析：（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即连接EF，证△EGF≌△EDF即可；

（2）可设DF=x，BC=y；进而可用x表示出DC、AB的长，根据折叠的性质知AB=BG，即可得到BG的表达式，由（1）证得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表达式，进而可在Rt△BFC中，根据勾股定理求出x、y的比例关系，即可得到的值；

（3）方法同（2）．

试题解析：（1）同意，连接EF，

则根据翻折不变性得，

∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，

在Rt△EGF和Rt△EDF中，

∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），

∴GF=DF；

（2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y

∵DC=2DF，

∴CF=x，DC=AB=BG=2x，

∴BF=BG+GF=3x；

在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+x2=（3x）2

∴y=2x，

∴；

（3）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y

∵DC=nDF，

∴BF=BG+GF=（n+1）x

在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+[（n-1）x]2=[（n+1）x]2

∴y=2x，

∴．