Question

【题目】如图在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E交AB的延长线于点F，

（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AE=6，FB=4，求⊙O的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）16π

【解析】试题分析：（1）连结AD、OD，如图，根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得到∠ADB=90°，即AD⊥BC，再根据等腰三角形的性质得BD=CD，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，加上EF⊥AC，于是OD⊥EF，然后根据切线的判定定理得EF是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为R，利用OD∥AE得到△FOD∽△FAE，根据相似比可得

=，解得R=4，然后利用圆的面积公式求解．

试题解析：（1）连结AD、OD，如图，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD，

而OA=OB，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵EF⊥AC，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为R，

∵OD∥AE，

∴△FOD∽△FAE，

∴=，即=，

解得R=4，

∴⊙O的面积=π42=16π．