Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，延长BP至点D，使得AD=AP，当AD⊥AB时，过点D作DE⊥AC于E．

(1)求证：∠CBP=∠ABP;

(2)若AB－BC=4，AC=8．求AB的长度和DE的长度．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）AB=10，DE =4.

【解析】

（1）要证∠CBP=∠ABP，只需证∠BPC=∠BDA即可，而题目告诉AP=AD，结论显然；

（2）设AB的长为x，则BC可用x表示，用勾股定理建立方程即可解出x即可求出AB的长度，过点P作PF⊥BA于点F，证明△BCP≌△BFP可求得BF=BC=6，AF=AB-BF=4，证明△PAF≌△ADE，可得DE=AF=4.

(1)∵∠C=90°，

∴∠CBP+∠BPC=90°，

∵DA⊥BA，

∴∠PBA+∠BDA=90°，

∵AD=AP，

∴∠BDA=∠DPA=∠BPC，

∴∠CBP=∠ABP；

(2)设AB=x，

∵ABBC=4，

∴BC=x4，

∵AC=8，

∴在Rt△ABC中,(x4)2+64=x2，

解得：x=10，

即AB=10，

过点P作PF⊥BA于点F，如图

在△BCP和△BFP中：

∵

∴△BCP≌△BFP(AAS)，

∴BF=BC=6，

∴AF=4，

∵DE⊥AC，

∴∠EAD+∠ADE=90°=∠PAF+∠EAD，

∴∠PAF=∠ADE，

在△PAF和△ADE中，

∴△PAF≌△ADE(AAS)，

∴DE=AF=4.