Question

【题目】如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D．

（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长；

（2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；

（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=CD，请说明你的理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）证明见解析（3）F在直径BC下方的圆弧上，且

【解析】

（1）由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，即可得∠BCE=90°，∠BFC=∠CFE=90°，则可证得△CEF∽△BEC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长；

（2）①由∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，根据同角的余角相等，即可得∠ABF=∠FCD，同理可得∠AFB=∠CFD，则可证得△CDF∽△BAF；

②由△CDF∽△BAF与△CEF∽△BCF，根据相似三角形的对应边成比例，易证得，又由AB=BC，即可证得CD=CE；

（3）由CE=CD，可得BC= CD=CE，然后在Rt△BCE中，求得tan∠CBE的值，即可求得∠CBE的度数，则可得F在⊙O的下半圆上，且.

（1）解：∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．

∴∠BCE=90°，

又∵BC为直径，

∴∠BFC=∠CFE=90°，

∵∠FEC=∠CEB，

∴△CEF∽△BEC，

∴，

∵BE=15，CE=9，

即：，

解得：EF= ；

（2）证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，

∴∠ABF=∠FCD，

同理：∠AFB=∠CFD，

∴△CDF∽△BAF；

②∵△CDF∽△BAF，

∴，

又∵∠FCE=∠CBF，∠BFC=∠CFE=90°，

∴△CEF∽△BCF，

∴，

∴，

又∵AB=BC，

∴CE=CD；

（3）解：∵CE=CD，

∴BC=CD=CE，

在Rt△BCE中，tan∠CBE=，

∴∠CBE=30°，

故为60°，

∴F在直径BC下方的圆弧上，且．