Question

【题目】如图1，点I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆⊙O于点D．

（1）求证：DB=DC=DI；

（2）若AB是⊙O的直径，OI⊥AD，求tan的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）要证明ID=BD=DC，只要求得∠BID=∠IBD，再根据角平分线的性质即可得到结论；

（2）由AB是⊙O的直径，得到BD⊥AD，由于OI⊥AD，得到OI∥BD，于是求得AD=2BD，BD=2OI，设OI=x，则BD=AI=2x，AD=4x，得到AB= ，如图2，过O作OE⊥BD交⊙O于E，连接AE交OI于F，则OE∥AI，得到比例式代入求得IF= ，即可得到结果．

试题解析：（1）证明：∵点I是△ABC的内心，

∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，

∵∠CBD=∠CAD，

∴∠BAD=∠CBD，

∴∠BID=∠ABI+∠BAD，

∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，

∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，

∴∠BID=∠IBD，

∴ID=BD，

∵∠BAD=∠CAD，

∴，

∴CD=BD，

∴DB=DC=DI；

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴BD⊥AD，OI⊥AD，

∴OI∥BD，

∵OA=OB，

∴AI=DI，

由（1）知ID=BD，

∴AD=2BD，BD=2OI，

设OI=x，则BD=AI=2x，AD=4x，

∴AB= ，

如图2，过O作OE⊥BD交⊙O于E，连接AE交OI于F，则OE∥AI，

∴，

即 ，

∴IF= ，

∵OE⊥BD，

∴，

∴∠DAE=∠BAD=∠CAD，

∴tan∠DAE= tan=．