Question

【题目】在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．
（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．
（2）如图2，AC：AB=1： ，EF⊥CE，求EF：EG的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，

在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，

∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．

∵AC：AB=1：2，

∴AB=2AC，

∵点E为AB的中点，

∴AB=2BE，

∴AC=BE．

在△ACD与△BEF中，

，

∴△ACD≌△BEF，

∴CD=EF，即EF=CD

（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，

∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，

∴四边形EQDH是矩形，

∴∠QEH=90°，

∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，

又∵∠EQF=∠EHG=90°，

∴△EFQ∽△EGH，

∴EF：EG=EQ：EH．

∵AC：AB=1： ，∠CAB=90°，

∴∠B=30°．

在△BEQ中，∵∠BQE=90°，

∴sinB= = ，

∴EQ= BE．

在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，

∴cos∠AEH= = ，

∴EH= AE．

∵点E为AB的中点，

∴BE=AE，

∴EF：EG=EQ：EH= BE： AE=1： = ：3

【解析】（1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ= BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH= AE，又BE=AE，进而求出EF：EG的值．
【考点精析】通过灵活运用相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．