Question

【题目】如图1，以边长为8的正方形纸片ABCD的边AB为直径作⊙O，交对角线AC于点E．
（1）线段AE=；
（2）如图2，以点A为端点作∠DAM=30°，交CD于点M，沿AM将四边形ABCM剪掉，使Rt△ADM绕点A逆时针旋转（如图3），设旋转角为α（0°＜α＜150°），旋转过程中AD与⊙O交于点F．
①当α=30°时，请求出线段AF的长；
②当α=60°时，求出线段AF的长；判断此时DM与⊙O的位置关系，并说明理由；
③当α= 时，DM与⊙O相切．

Answer 1

【答案】
（1）4
（2）解：①连接OA、OF，

由题意得，∠NAD=30°，∠DAM=30°，

故可得∠OAM=30°，∠DAM=30°，

则∠OAF=60°，

又∵OA=OF，

∴△OAF是等边三角形，

∵OA=4，

∴AF=OA=4；

②连接B'F，此时∠NAD=60°，

∵AB'=8，∠DAM=30°，

∴AF=AB'cos∠DAM=8× =4 ；

此时DM与⊙O的位置关系是相离

③

∵AD=8，直径的长度相等，

∴当DM与⊙O相切时，点D在⊙O上，

故此时可得α=∠NAD=90°．

【解析】解：（1）连接BE，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠BAC=45°，
∴△AEB是等腰直角三角形，
又∵AB=8，
∴AE=4 ；