【题目】如图1 ，一次函数 (k,b为常数，k≠0)的图象与反比例函数（m为常数，m≠0）的图象相交于点M(1，4)和点N（4，n）．

(1)填空：①反比例函数的解析式是　　　　　； ②根据图象写出时自变量x的取值范围是　　　　　　；

(2) 若将直线MN向下平移a(a>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求a的值；

(3) 如图2，函数的图象（x＞0）上有一个动点C，若先将直线MN平移使它过点C，再绕点C旋转得到直线PQ，PQ交轴于点A，交轴点B，若BC=2CA， 求OA·OB的值.

参考答案：

【答案】(1) ① y＝.②；(2) a＝1或a＝9.；(3) 18或2..

【解析】整体分析：

(1)由点A的坐标求反比例函数的解析式，得到点B的坐标； ，即是一次函数的图象在反比例函数图象的下方时自变量的范围；(2)由点M，N的坐标求直线MN的解析式，直线MN向下平移a(a>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，即是方程kx+b-a=的判别式等于0；(3)设点C(a,b)，根据BC=2CA，分三种情况讨论，利用△ACH∽△ABO，结合ab=4求解.

解：(1)k=1×4=4，所以y=.

②当y=4时，x=，则B(4，1).

根据图象得： .

(2)点M(1，4)和点N(4，1)分别代入得

直线AB向下平移a个单位长度后的解析式为y＝－x＋5－a，

把y＝代入消去y，整理，得x2－(5－a)x＋4＝0.

∵平移后的直线与反比例函数的图象有且只有一个公共点，

∴Δ＝(5－a)2－16＝0.

解得a＝1或a＝9.

(3)设点C(a,b)，则ab=4如图1，过C点作CH⊥OA于点H.

①当点B在y轴的负半轴时，如图1

∵BC=2CA，∴AB=CA.

∵∠AOB=∠AHC=90°，∠1=∠2，

∴△ACH∽△ABO.

∴OB=CH=b,OA=AH=0.5a

∴.

②当点B在y轴的正半轴时，

如图2，当点A在x轴的正半轴时，

∵BC=2CA，∴.

∵CH∥OB，∴△ACH∽△ABO.

∴

∴.OB=3b,OA=1.5a

∴.

如图3，当点A在x轴的负半轴时，BC=2CA不可能.

综上所述，OA·OB的值为18或2.

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