Question

【题目】（在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图1，则有a2+b2=c2；若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：a2+b2＞c2 ， 理由如下：如图2，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x．在Rt△ADC中，AD2=b2﹣x2 ， 在Rt△ADB中，AD2=c2﹣（a﹣x）2
∴a2+b2=c2+2ax
∵a＞0，x＞0
∴2ax＞0
∴a2+b2＞c2
∴当△ABC为锐角三角形时，a2+b2＞c2
所以小明的猜想是正确的．

（1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系．
（2）温馨提示：在图3中，作BC边上的高．
（3）证明你猜想的结论是否正确．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系为：a2+b2＜c2

（2）

解：如图3，过点A作AD⊥BC于点D

（3）

解：证明：如图3，设CD=x．

在Rt△ADC中，AD2=b2﹣x2，在Rt△ADB中，AD2=c2﹣（a+x）2

∴a2+b2=c2﹣2ax

∵a＞0，x＞0

∴2ax＞0

∴a2+b2＜c2

∴当△ABC为钝角三角形时，a2+b2＜c2

【解析】（1）根据题意可猜测：当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系为：a2+b2＜c2；（2）根据题意可作辅助线：过点A作AD⊥BC于点D；（3）然后设CD=x，分别在Rt△ADC与Rt△ADB中，表示出AD2 ， 即可证得结论．此题属于三角形的综合题．考查了勾股定理以及三角形的面积问题．注意理解题意是解此题的关键．
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形三边关系的相关知识，掌握三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边；不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边．