Question

【题目】已知，如图所示，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F．H是BC边上的中点，连接DH与BE相交于点G．

（1）求证：BF=AC；

（2）求证：CE=BF；

（3）请你根据该题的条件并结合图形，自己提出一个问题，并解答或证明你提出的问题．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）提出问题是连接DE，则∠DEB=45°，证明见解析.

【解析】

(1)根据等腰三角形的性质得到BD=CD，根据全等三角形的性质即可得到BF=AC；

(2)根据全等三角形的性质得到AE=CE=AC，等量代换得到CE=BF；

(3)提出∠DEB=∠DCB=45，进而证明即可.

解：（1）∵∠ABC=45°，CD⊥AB于D，

∴△BCD是等腰直角三角形，H是BC边的中点，

∴BD=CD，

∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，

∴∠DBF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，

∴∠DBF=∠ACD，

在△BDF与△CDA中，

∴△BDF≌△CDA（ASA），

∴BF=AC；

（2）∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，

∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，

∴在△ABE与△CBE中，

∴△ABE≌△CBE（ASA），

∴AE=CE=AC，

∴BF=2CE，

即CE=BF；

（3）提出问题是连接DE，则∠DEB=45°，

证明如下：

∵∠CEB=∠CDB=90°，∴C，B，D，E四点共圆，

∴∠DEB=∠DCB=45°.