Question

【题目】已知：如图1．正方形ABCD，过点A作∠EAF=90°，两边分别交直线BC于点E，交线段CD于点F，G为AE中点，连接BG

（1）求证：△ABE≌△ADF

（2）如图2，过点G作BG的垂线交对角线AC于点H，求证：GH=GB；

（3）如图3，连接HF，若CH=3AH，AD=2，求线段HF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）5.

【解析】试题分析：（1）如图1中，由△ABE≌△ADF，推出∠AFD=∠E，由AG=GE，推出GB=GE=GA，推出∠E=∠GBE=∠AFD，由∠GBE+∠GBC=180°，推出∠AFD+∠GBC=180°即可；

（2）如图2中，连接BD交AC于O，连接OG、BH、取BH的中点K，连接GK、OK．只要证明O、H、G、B四点共圆，由AG=GE，AO=OC．推出OG∥CE，推出∠GOB=∠OBC=45°，即可解决问题；

（3）如图3中，如图3中，设OG交AB于T，GH交AB于P．，作HM⊥DF于M．只要证明∠EAB=∠GBP=∠PGT=∠HBO，推出tan∠EAB=tan∠HBO=，由CH=3AH，OA=OC=OB，推出tan∠EAB=tan∠HBO==，BE=DF=，在RtHMF中，利用勾股定理即可解决问题.

试题解析：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠AEF=90°，

∴∠EAB=∠DAF，∵∠ABE=∠ADF=90°，∴△ABE≌△ADF，∴∠AFD=∠E，

∵AG=GE，∴GB=GE=GA，∴∠E=∠GBE=∠AFD，∵∠GBE+∠GBC=180°，∴∠AFD+∠GBC=180°；

（2）如图2，连接BD交AC于O，连接OG、BH、取BH的中点K，连接GK、OK，

∵∠BGH=∠BOH=90°，BK=KH，∴GK=KH=OK=KB，∴O、H、G、B四点共圆，

∵AG=GE，AO=OC，∴OG∥CE，

∴∠GOB=∠OBC=45°，∴∠GOH=∠GBH=45°，∵∠BGH=90°，

∴∠GBH=∠GHB=45°， ∴GH=GB；

（3）如图3，设OG交AB于T，GH交AB于P，作HM⊥DF于M，

∵OG∥EC，AB⊥CE，∴OG⊥AB，易证∠EAB=∠GBP=∠PGT=∠HBO，

∴tan∠EAB=tan∠HBO=，∵CH=3AH，OA=OC=OB，∴tan∠EAB=tan∠HBO==，

∵AB=AD=2，∴BE=DF=，在Rt△HMF中，易证FM=，HM=，

∴HF==5．