Question

【题目】图（1）是我们常见的“箭头图”，其中隐藏着哪些数学知识呢？下面请你解决以下问题：

（1）观察如图（1）“箭头图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间大小的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，回答下列两个问题：
①如图（2），把一块三角板XYZ放置在△ABC上，使其两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C．若∠A=50°，求∠ABX+∠ACX

②如图（3），∠ABD，∠ACD的五等分线分别相交于点G1、G2、G3、G4 ， 若∠BDC=135°，∠BG1C=67°，求∠A的度数．

Answer 1

【答案】
（1）解：∠BDC=∠A+∠B+∠C．理由：

连接AD并延长到M．

因为∠BDM=∠BAD+∠B，∠CDM=∠CAD+∠C，

所以∠BDM+∠CDM=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，

即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C．

（2）解：①由（1）知：∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，

由于∠BXC=90°，∠A=50°

所以∠ABX+∠ACX

=∠BXC﹣∠A

=90°﹣50°

=40°．

②在箭头图G1BDC中

因为∠BDC=∠G1+∠G1BD+∠G1CD，

又∵∠BDC=135°，∠BG1C=67°

∵∠ABD，∠ACD的五等分线分别相交于点G1、G2、G3、G4

∴4（∠DBG4+∠DCG4）=135°﹣67°

∴∠DBG4+∠DCG4=17°．

∴∠ABG1+∠ACG1=17°

∵在箭头图G1BAC中

∵∠BG1C=∠A+∠G1BA+∠G1CA，

又∵∠BG1C=67°，

∴∠A=50°．

答：∠A的度数是50°．

【解析】第1小题，连接AD并延长到M，利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；第2小题，由（1）知：∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，再根据已知条件可求解。