Question

【题目】已知如图，△ABC中AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．

（1）求证：AE与⊙O相切；

（2）当BC=6，cosC=，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）4.8

【解析】

试题分析：（1）连接OM．根据OB=OM，得∠1=∠3，结合BM平分∠ABC交AE于点M，得∠1=∠2，则OM∥BE；根据等腰三角形三线合一的性质，得AE⊥BC，则OM⊥AE，从而证明结论；

（2）设圆的半径是r．根据等腰三角形三线合一的性质，得BE=CE=3，再根据解直角三角形的知识求得AB=12，则OA=12﹣r，从而根据平行线分线段成比例定理求解．

试题解析：（1）连接OM．

∵OB=OM，

∴∠1=∠3，

又BM平分∠ABC交AE于点M，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴OM∥BE．

∵AB=AC，AE是角平分线，

∴AE⊥BC，

∴OM⊥AE，

∴AE与⊙O相切；

（2）设圆的半径是r．

∵AB=AC，AE是角平分线，

∴BE=CE=3，∠ABC=∠C，

又cosC=，

∴AB=BE÷cosB=12，则OA=12﹣r．

∵OM∥BE，

∴，

即，

解得r=2.4．

则圆的直径是4.8．