Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，D是线段BC的延长线上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．

（1）如图1，点D在线段BC的延长线上移动，若∠BAC=30°，则∠DCE=　 　．

（2）设∠BAC=α，∠DCE=β：

①如图1，当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；

②当点D在直线BC上（不与B、C重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）①α=β，理由见解析；②当D在线段BC上时，α+β=180°，当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，α=β．

【解析】试题分析：（1）证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；

（2）①证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；

②α+β=180°或α=β，根据三角形外角性质求出即可．

试题解析：（1）解：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．

在△BAD和△CAE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B=∠ACE．

∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE．

∵∠BAC=30°，∴∠DCE=30°．

故答案为：30°；

（2）解：当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α=β．理由是：

∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．

在△BAD和△CAE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B=∠ACE．

∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE．

∵∠BAC=α，∠DCE=β，∴α=β；

（3）解：当D在线段BC上时，α+β=180°，当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，α=β．