Question

【题目】已知，在中，，为上一动点，以为斜边作，，交于点，且.

（1）如图①，若平分，，求的长

（2）如图②，连接并延长交的延长线于点，过点作于，求证.

Answer 1

【答案】(1)12;(2)见解析

【解析】

（1）由“SAS”可证△AEM≌△FCM，可得EM=MC，由等腰三角形性质可求∠AEF=∠MCE=∠MEC=30°，由直角三角形的性质可求ME=MC=8，即可求AC的长；
（2）过点C作CG⊥AC交AD于点G，由“SAS”可证△ACG≌△EFC，可得AG=CE，CF=CG，由等腰三角形的性质可得FG=2FN，即可得结论．

（1）∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF=∠FEC，
∵∠BAC=∠EFC=90°，AM=MF，∠AME=∠FMC
∴△AEM≌△FCM（SAS）
∴EM=MC
∴∠MEC=∠MCE
∴∠MEC=∠MCE=∠AEF，
∵∠MEC+∠MCE+∠AEF=90°
∴∠AEF=∠MCE=∠MEC=30°，且∠BAC=90°
∴EM=2AM=8
∴MC=8
∴AC=AM+MC=12
（2）如图，过点C作CG⊥AC交AD于点G，

由（1）可知：EM=MC
∵AM=MF
∴AC=EF，
∵∠BAC=∠EFC=90°
∴点A，点F，点C，点E四点共圆
∴∠CAG=∠FEC，且AC=EF，∠EFC=∠ACG=90°
∴△ACG≌△EFC（ASA）
∴AG=CE，CF=CG，
∵CF=CG，CN⊥AG
∴FG=2FN
∴EC=AG=AF+FG=AF+2FN