Question

【题目】如图，四边形ABCD是平行四边形,点E、F在BC上，且CF=BE,连接DE,过点F作FG⊥AB于点G．

（1）如图1,若∠B=60°，DE平分∠ADC，且 ，,求平行四边形ABCD的面积．

（2）点H在GF上，且HE=HF，延长EH交AC，CD于点O，Q，连接AQ，若AC=BC=EQ，∠EQC=45°，求证:．

Answer 1

【答案】（1）18+9；（2）见详解．

【解析】

（1）由角平分线的定义及平行四边形的性质，得CD=CE=6，从而得CF=，进而得BC=6+．过点A作AM⊥BC于点M，得AM= ，根据平行四边形的面积公式，即可求解．

（2）过点C作CN⊥EQ于点N，其延长线交AD于点K，先证△BGF≌△CNE(AAS)，再证△ACK≌△QEC(ASA)，进而即可得到结论．

（1）∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE=∠CDE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠ADE=∠CED，

∴∠CED=∠CDE，

∴CD=CE=6，

∵，

∴CF=，

∵CF=BE，

∴BE=，

∴BC=6+．

过点A作AM⊥BC于点M，

∵∠B=60°，AB=CD=6，

∴∠BAM=30°，

∴BM=3，

∴AM=BM=，

∴平行四边形ABCD的面积=（6+）×=18+9；

（2）过点C作CN⊥EQ于点N，其延长线交AD于点K，

∵∠EQC=45°，

∴△CNQ为等腰直角三角形，

∴∠NQC=∠NCQ=45°，且CQ=CN，

∵HE=HF，

∴∠HEF=∠HFE，

∵FG⊥AB，CN⊥EQ，

∴∠FGB=∠ENC=90°，

又∵BE=CF，

∴BF=CE，

∴△BGF≌△CNE(AAS)，

∴BG=CN，∠B=∠ECN，

∴CQ=BG，

又∵AC=BC=AD，

∴∠D=∠ACD，

又∵∠B=∠D，

∴∠ECN=∠ACD，

∴∠KAC=∠BCA=∠NCQ=45°，

∴∠BAC=∠ACD=∠B=∠CDA=∠ECN =67.5°，

∴∠ACK= ∠ECN-∠BCA =22.5°，∠QEC=180°-90°-∠ECN =22.5°，

即：∠ACK=∠QEC，

又∵∠KAC=∠CQE=45°，AC=QE，

∴△ACK≌△QEC(ASA)，

∴CK=CE，

∵∠CDA=67.5°，∠NCQ=45°，

∴∠CKD=180°-45°-67.5°=67.5°，

∴∠CKD=∠CDA，

∴CK=CD，

∴CE=CD，

∵CD=CQ+QD=BG+DQ，

∴．