Question

【题目】如图，已知△ABC是等边三角形，以AC为直径的⊙O分别交AB，BC于点D，E，点F在AB的延长线上，2∠BCF=∠BAC．
（1）求∠ADE的度数．
（2）求证：直线CF是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=∠ACE=60°，

∴∠ADE=180°﹣∠ACE=120°

（2）解：∵⊙O的直径是AC，

∴∠AEC=90°，即AE⊥BC．

又∵AB=AC，

∴∠BAE=∠CAE．

∵2∠BCF=∠BAC，

∴∠BCF=∠CAE．

∵∠CAE+∠ECA=90°，

∴∠BCF+∠ECA=90°，即∠ACF=90°．

又AC是直径，

∴直线CF是⊙O的切线

【解析】（1）根据圆内接四边形的对角互补可以求得∠ADE的度数．（2）欲证明直线CF是⊙O的切线，只需推知∠ACF=90°．
【考点精析】掌握等边三角形的性质和圆周角定理是解答本题的根本，需要知道等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．