Question

【题目】问题情填，

在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD、并且量得AB＝2cm，AC＝4cm.

操作发现：

(1)将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到加图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC′的延长线交于点E，则四边形ACEC'的形状是_________；

(2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连接CC′，取CC'的中点F，连精AF并延长到点G，使FG＝AF，连接CG，C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论.

实践探究：

(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，A′C与BC′相交于点H.如图4所示，连接CC'，试求CH的长度.

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）在图一中，利用矩形的性质和平行线的性质可得出∠ACD＝∠BAC，在图2中，由旋转知AC＝AC'，∠AC'D＝∠ACD，可得∠CAC'＝∠AC'D，可得AC∥C'E，证得四边形ACEC'是平行四边形，又AC＝AC'，证得ACEC'是菱形

（2）在图1和图3中，根据矩形的性质和旋转的性质证明∠BAC+∠DAC'＝90°，根据中点可得CF＝C'F，AF＝FG，可得到四边形ACGC'是平行四边形，又因为AG⊥CC'，证得ACGC'是菱形，由∠CAC'＝90°，故证得菱形ACGC'是正方形；

（3）在Rt△ABC中，AB=2，AC=4，可求得sin∠ACB=，由（2）结合平移知，∠CHC’=90°，再利用解直角三角形求出BH=BC·sin30°=，进而求得C’H=BC’-BC=4-，CH=AC-AH=4-1=3，最后在Rt△CHC’中，利用锐角三角函数的定义求得tan∠C’CH==.

解：（1）在如图1中，

∵AC是矩形ABCD的对角线，∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，

在如图2中，由旋转知，AC'＝AC，∠AC'D＝∠ACD，

∴∠BAC＝∠AC'D，

∵∠CAC'＝∠BAC，

∴∠CAC'＝∠AC'D，

∴AC∥C'E，

∵AC'∥CE，

∴四边形ACEC'是平行四边形，

∵AC＝AC'，

∴ACEC'是菱形，

故答案为：菱形；

（2）在图1中，∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90°，

∴∠BAC+∠ACB＝90°

在图3中，由旋转知，∠DAC'＝∠DAC，

∴∠ACB＝∠DAC'，

∴∠BAC+∠DAC'＝90°，

∵点D，A，B在同一条直线上，

∴∠CAC'＝90°，

由旋转知，AC＝AC'，

∵点F是CC'的中点，

∴AG⊥CC'，CF＝C'F，

∵AF＝FG，

∴四边形ACGC'是平行四边形，

∵AG⊥CC'，

∴ACGC'是菱形，

∵∠CAC'＝90°，

∴菱形ACGC'是正方形；

（3）在Rt△ABC中，AB=2，AC=4

∴BC’=AC=4，BD=BC=2，sin∠ACB=

∴∠ACB=30°

由（2）结合平移知，∠CHC’=90°

在Rt△BCH中，∠ACB=30°

∴BH=BC·sin30°=

∴C’H=BC’-BC=4-

在Rt△ABH中，AH=AB=1

∴CH=AC-AH=4-1=3

在Rt△CHC’中，tan∠C’CH==