Question

【题目】在四边形ABCD中，已知AD//BC，∠ABC=90°.

（1）若AC⊥BD，且AC=5，BD=3（如图1），求四边形ABCD的面积；

（2）若DE⊥BC于E，F是CD的中点，BD=BC，（如图2），求证：∠BAF=∠BCD.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）利用S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD计算，即可得出结论；
（2）先判断出△ADF≌△GCF，得出AF=FG，进而得出AF=BF=FG，最后利用互余即可得出结论；

解：（1）设AC，BD的交点为O，
∵AC⊥BD，BD=3，AC=5，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD
=BD×OA+BD×OC
=BD（OA+OC）
=BD×AC
=；

（2）如图2，延长AF，BC相交于G，连接BF，

∵AD∥BC，∴∠DAF=∠CGF，
∵点F是CD的中点，
∴DF=CF，

在△ADF和△GCF中，

∴△ADF≌△GCF（AAS），
∴AF=GF，
∵∠ABC=90°，
∴∠G+∠BAF=90°，BF=AF=FG=AG，
∴∠CBF=∠G，
∴∠CBF+∠BAF=90°，
∵BD=BC，CF=DF，
∴∠BFC=90°，
∴∠CBF+∠BCD=90°，
∴∠BAF=∠BCD；