Question

【题目】【问题探究】用同样大小的小正方形纸片，按下图的方式拼正方形．

规律：第①个图形中有1个小正方形；

第②个图形比第①个图形多3个小正方形；

第③个图形比第②个图形多5个小正方形；

……

第(n+1)个图形比第n个图形多________个小正方形．

可发现以下结论：（1）1+3+5+…+（2n－1）= ____________．

（2）(n+1)2－n2 = ____________．

【知识运用】

运用一：如果一个数可用几个连续的奇数和来表示，我们称这个数为“好数”，例如：9=1+3+5，32=5+7+9+11，则称9和32都是“好数”．

请尝试将下列“好数”用连续奇数的和表示出来：

（1）=_____________________________________．

（2）99 =_____________________________________．

运用二：利用上面的结论，请计算的值．

Answer 1

【答案】 （2n+1） n2 2n+1 1+3+5+7+9+11+13 3+5+7+9+11+13+15+17+19 或 31+33+35

【解析】试题分析：

【问题探究】

第②个图形比第①个图形多3＝2×2－1个小正方形；

第③个图形比第②个图形多5＝2×3－1个小正方形；

……

第n个图形比第n－1个图形多2n－1个小正方形

第(n＋1)个图形比第n个图形多2(n＋1)－1＝2n＋1个小正方形；

（1）1＋3＋5＋…＋（2n－1）表示第n个图形的小正方形个数，所以1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2；

（2）(n＋1)2－n2表示第(n＋1)个图形比第n个图形多的小正方形个数，所以(n＋1)2－n2＝2n＋1．

【知识运用】

运用一：

（1）由以上可知1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2，令n＝7，则有72＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13；

（2）99＝100－1

＝102－1

＝1＋3＋5＋…＋19－1

＝3＋5＋…＋19；

或99＝182－152

＝(1＋3＋5＋…＋35)－(1＋3＋5＋…＋29)

＝31＋33＋35；

运用二：

将原式每两项分为一组，然后利用前面发现的规律(n＋1)2－n2＝2n＋1进行解答即可．

试题解析：

【问题探究】

第(n＋1)个图形比第n个图形多 （2n＋1） 个小正方形．

可发现以下结论：（1）1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝ n2 ．

（2）(n＋1)2－n2 ＝ 2n＋1 ．

【知识运用】

运用一：

（1）72＝ 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13 ．

（2）99 ＝ 3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19 或 31＋33＋35 ．（填一种即可）

运用二：

（法一）：原式＝（22－1）＋(42－32)＋（62－52）＋…＋（282－272）

＝（2×1＋1）＋（2×3＋1）＋（2×5＋1）＋…＋（2×27＋1）

＝ 2×（1＋3＋5＋…＋27）＋14

＝ 2×196＋14

＝ 406

（法二）：原式＝ （22－1）＋(42－32)＋（62－52）＋…＋（282－272）

＝ 1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋27＋28

＝

＝ 406