Question

【题目】以x为自变量的二次函数y=﹣x2+（2m+2）x﹣（m2+4m﹣3）中，m为不小于0的整数，它的图象与x轴的交点A在原点左边，交点B在原点右边．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设点C为此二次函数图象上的一点，且满足△ABC的面积等于10，请求出点C的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵图象与x轴的交点A在原点左边，交点B在原点右边，

∴△=（2m+2）2﹣4×（﹣1）×[﹣（m2+4m﹣3）]＞0，

解得：m＜2，

∵m为不小于0的整，

∴m=0或1．

当m=0时，y=﹣x2+2x+3，其中A（﹣1，0），B（3，0）；

当m=1时，y=﹣x2+4x﹣2，不合题意；

∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3

（2）解：∵△ABC的面积等于10，|AB|=4，

∴ |AB|h=10，

∴h=5，

∴C点的纵坐标为5或﹣5，

当C点的纵坐标为5时，﹣x2+2x+3=5，即﹣x2+2x﹣2=0，△=4﹣4×（﹣1）×（﹣2）＜0，不合题意，舍去；

当C点的纵坐标为﹣5时，﹣x2+2x+3=﹣5，即﹣x2+2x+8=0，

解得：x=4或﹣2，

所以点C的坐标为：（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）

【解析】（1）由二次函数y=﹣x2+（2m+2）x﹣（m2+4m﹣3）中，m为不小于0的整数，它的图象与x轴的交点A在原点左边，交点B在原点右边，可确定m的值，可得二次函数的解析式；（2）由△ABC的面积等于10，|AB|=4，求出点C的纵坐标，再代入解析式可得点C的横坐标，即得点C的坐标．
【考点精析】关于本题考查的抛物线与坐标轴的交点，需要了解一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．才能得出正确答案．