Question

【题目】如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．

（1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，

∴AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°，

∴∠BAC+∠3=∠EAF+∠3，即∠BAE=∠CAF，

在△ABE和△ACF中

，

∴△ABE≌△ACF，

∴BE=CF

（2）解：∵四边形ABDF为菱形，

∴DF=AF=2，DF∥AB，

∴∠1=∠BAC=45°，

∴△ACF为等腰直角三角形，

∴CF= AF=2 ，

∴CD=CF﹣DF=2 ﹣2．

【解析】（1）根据旋转的性质得AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°，然后根据“SAS”证明△ABE≌△ACF，于是根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据菱形的性质得DF=AF=2，DF∥AB，再利用平行线的性质得∠1=∠BAC=45°，则可判断△ACF为等腰直角三角形，所以CF= AF=2 ，然后计算CF﹣DF即可．
【考点精析】通过灵活运用菱形的性质和旋转的性质，掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了即可以解答此题．