Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，顶点为D，若以BD为直径的⊙M经过点C．

（1）请直接写出C，D两点的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在抛物线上是否存在点E，使∠EDB=∠CBD？若存在，请求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵将x=0代入抛物线的解析式得y=﹣3a，

∴点C的坐标是（0，﹣3a）．

∵x=﹣ = =1，

∴点D的横坐标为1．

∵将x=1代入抛物线的解析式得y=a﹣2a﹣3a=﹣4a，

∴点D的坐标是（1，﹣4a）．

（2）

解：解：令y=0得：ax2﹣2ax﹣3a=0

∵a≠0，故得x1=﹣1，x2=3

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

如图1所示：过点D作DN⊥y轴于点N，则DN=1，CN=﹣4a﹣（﹣3a）=﹣a．

∵BD为⊙M的直径，

∴∠BCD=90°．

∴∠DCN+∠BCO=90°．

∵∠CDN+∠DCN=90°，

∴∠BCO=∠CDN，

∵∠BOC=∠DNC=90°，

∴△BOC∽△CND．

∴ ，即 ，解得：a=±1（其中a=1舍去），

∴a=﹣1．

∴所求抛物线为y=﹣x2+2x+3．

（3）

解：∵a=﹣1，

∴D（1，4）．

∵设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入得： ，解得：k=﹣1，b=3，

∴直线BC为：y=﹣x+3．

如图2所示：过点D作DE∥BC，交抛物线与点E．

∵DE∥BC，

∴∠EDB=∠CBD．

∴设直线DE为y=﹣x+b

∵把点D（1，4）代入得：4=﹣1+b，解得：b=5，

∴直线DE为：y=﹣x+5．

解方程组 得： ，

∵D（1，4）

∴E（2，3）．

如图3所示：作∠PDB=∠CBD，DP交BC于点P，交抛物线与点E．

∵∠EDB=∠CBD，

∴PD=PB．

又∵MB=MD，

∴PM⊥BD．

∵B（3，0），D（1，4），

∴直线BD为y=﹣2x+6，且M（2，2）

∴设直线PM为 ，

∴2=1+b2，

∴b2=1

∴直线PM为：

解方程组 得： ，

∴P（ ， ）

∵D（1，4），P（ ， ）

∴直线PD为：y=﹣7x+11

解方程组 得： ，

∵D（1，4），

∴E（8，﹣45）．

综上所述，在抛物线上存在满足条件的点E，点E的坐标为E（2，3）或E（8，﹣45）．

【解析】（1）将x=0代入抛物线的解析式可得到点C的坐标，依据抛物线的对称轴方程可求得点D的横坐标，然后将点D的横坐标代入可求得点D的纵坐标；（2）令y=0可求得点A、B的坐标，过点D作DN⊥y轴于点N，则DN=1，CN=﹣a．接下来证明△BOC∽△CND，然后依据相似三角形的性质可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；（3）先求得点D的坐标、直线BC的解析式，点D作DE∥BC，交抛物线与点E．设直线DE的解析式为y=﹣x+b，把点D（1，4）代入直线DE的解析式求得b的值，然后将DE的解析式与抛物线的解析式组成方程可求得点E的坐标；作∠PDB=∠CBD，DP交BC于点P，交抛物线与点E．克证明MP垂直平分BD，从而可求得PM的解析式，然后由PM的解析式和BC的解析式可求得点P的坐标，接下来求得PD的解析式，最后根据DP的解析式和抛物线的解析式可求得E的坐标．
【考点精析】掌握二次函数的概念和二次函数的图象是解答本题的根本，需要知道一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数；二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点．