Question

【题目】已知：△ABC中，点D为边BC上一点，点E在边AC上，且∠ADE＝∠B

(1) 如图1，若AB＝AC，求证：；

(2) 如图2，若AD＝AE，求证：；

(3) 在(2)的条件下，若∠DAC＝90°，且CE＝4，tan∠BAD＝，则AB＝____________．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：(1)

∠ADE＝∠B,可得 根据等边对等角得到

△BAD∽△CDE，根据相似三角形的性质即可证明.

(2) 在线段AB上截取DB＝DF,证明△AFD∽△DEC，根据相似三角形的性质即可证明.

(3) 过点E作EF⊥BC于F，根据tan∠BAD＝tan∠EDF＝，设EF＝x，DF＝2x，则DE＝，证明△EDC∽△GEC，求得，根据CE2＝CD·CG，求出CD＝，

根据△BAD∽△GDE,即可求出的长度.

详解：(1)

∠ADE＝∠B,可得

∵△BAD∽△CDE，

∴；

(2) 在线段AB上截取DB＝DF

∴∠B＝∠DFB＝∠ADE

∵AD＝AE ∴∠ADE＝∠AED ∴∠AED＝∠DFB，

同理：∵∠BAD＋∠BDA＝180°－∠B，∠BDA＋∠CDE＝180°－∠ADE

∴∠BAD＝∠CDE

∵∠AFD＝180°－∠DFB，∠DEC＝180°－∠AED

∴∠AFD＝∠DEC ，

∴△AFD∽△DEC，

∴

(3) 过点E作EF⊥BC于F

∵∠ADE＝∠B＝45°

∴∠BDA＋∠BAD＝135°，∠BDA＋∠EDC＝135°

∴∠BAD＝∠EBC（三等角模型中，这个始终存在）

∵tan∠BAD＝tan∠EDF＝

∴设EF＝x，DF＝2x，则DE＝，

在DC上取一点G，使∠EGD＝45°，

∴△BAD∽△GDE，

∵AD＝AE∴∠AED＝∠ADE＝45°，

∵∠AED＝∠EDC＋∠C＝45°，∠C＋∠CEG＝45°，∴∠EDC＝∠GEC，

∴△EDC∽△GEC，∴ ∴，

又CE2＝CD·CG，

∴42＝CD·，CD＝，

∴，解得

∵△BAD∽△GDE

∴,

∴.