Question

【题目】已知：如图，锐角△ABC的两条高CD、BE相交于点O，且OB=OC

1.求证：△ABC是等腰三角形

2.连结AO，判断AO与BC的位置关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】1.见解析；2.AO⊥BC

【解析】

（1）由OB=OC得到∠OBC=∠OCB，在△BCD与△BEC中利用内角和定理以及等量代换即得到∠ABC=∠ACB，故△ABC为等腰三角形

（2）连接AO并延长交BC于F，易证△AOB≌△AOC，得到AF为∠BAC的角平分线，得到OA⊥BC

(1)∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，

∴∠BEC=∠BDC=90°，

∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠BDC+∠DBC+∠ACB=180°，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）AO⊥BC

理由：连接AO并延长交BC于F，

∵AB=AC，OB=OC，

又∵OA=OA，

∴△AOB≌△AOC．

∴∠BAF=∠CAF，

∴AF为∠BAC的角平分线

又∵△ABC为等腰三角形

∴OA⊥BC