Question

【题目】如图，正五边形的边长为2，连对角线AD，BE，CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M，N，则MN=__________；

Answer 1

【答案】3-

【解析】根据正五边形的性质得到∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，根据三角形的内角和即可得到结论；由于∠AEN=108°﹣36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，得到∠AEN=∠ANE，根据等腰三角形的判定定理得到AE=AN，同理DE=DM，根据相似三角形的性质得到，等量代换得到AN2=AMAD；根据AE2=AMAD，列方程得到MN=3﹣；

解：∵∠BAE=∠AED=108°，

∵AB=AE=DE，

∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，

∴∠AME=180°﹣∠EAM﹣∠AEM=108°，

∵∠AEN=108°﹣36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，

∴∠AEN=∠ANE，

∴AE=AN，

同理DE=DM，

∴AE=DM，

∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，

∴△AEM∽△ADE，

∴，

∴AE2=AMAD；

∴AN2=AMAD；

∵AE2=AMAD，

∴22=（2﹣MN）（4﹣MN），

∴MN=3﹣．

“点睛”此题主要考查了正多边形的性质和相似三角形的性质，根据三角形的内角和、相似三角形的性质即可得到结论．