Question

【题目】如图，在⊙O中，直径AB交弦CD于点G，CG=DG，⊙O的切线BE交DO的延长线于点E，F是DE与⊙O的交点，连接BD，BF．
（1）求证：∠CDE=∠E；
（2）若OD=4，EF=1，求CD的长．

Answer 1

【答案】证明：（1）∵在⊙O中，直径AB交弦CD于点G，CG=DG，
∴AB⊥CD，
∵BE是⊙O的切线，
∴AB⊥BE，
∴CD∥BE，
∴∠CDE=∠E；
（2）解：∵∠CDE=∠E，∠DOG=∠BOE，
∴△ODG∽△OEB，
∴，
∵OD=4，EF=1，
∴OB=OF=OD=4，
∴OE=OF+EF=5，
∴，
∴OG=，
∴DG==，
∴CD=2DG=．
【解析】（1）由在⊙O中，直径AB交弦CD于点G，CG=DG，根据垂径定理即可得AB⊥CD，又由BE是⊙O的切线，易证得CD∥BE，即可证得结论；
（2）易证得△ODG∽△OEB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OG的长，由勾股定理即可求得DG的长，继而求得答案．
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理的相关知识点，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题．