Question

【题目】在△ABC中，点D是AB边上一点（不与AB重合），AD=kBD，过点D作∠EDF+∠C=180°，与CA、CB分别交于E、F．
（1）如图1，当DE=DF时，求的值．
（2）如图2，若∠ACB=90°，∠B=30°，DE=m，求DF的长（用含k，m的式子表示）

Answer 1

【答案】解：（1）如图1，连接CD，
∵∠EDF+∠C=180°，
∴D，E，C，F四点共圆，
∵DE=DF，
∴∠DCE=∠DCF，
根据正弦定理得 ①，
，
∴，②，
∵∠ADC=180°﹣∠BDC，
∴sin∠ADC=sin∠BDC，
①÷②d得，，
∵AD=kBD，
∴=k；
（2）∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
根据正弦定理得： ③，，④，
由（1）知D，E，C，F四点共圆，
∴∠DEA+∠DFB=180°，
∴sin∠DEA=sin∠DFB，④÷③得：，
∴DF=，
∵AD=kBD，DE=m，
∴DF=．

【解析】（1）连接CD，由∠EDF+∠C=180°，推出D，E，C，F四点共圆，根据正弦定理得 ①， ， ②，①÷②得， ， 根据AD=kBD，根据得到结论；
（2）根据三角形的内角和得到∠A=60°，根据正弦定理得： ③， ， ④，④÷③得： ， 求得DF= ， 即可得到结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用相似三角形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．