Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且.点是线段上一点，交的延长线于点.

（1）如图1，若交于点.点作，交的延长线于点，求证：；

（2）如图2，若是的角平分线，交于点，交于点，求的值；

（3）如图3，若交的延长线于点.请证明：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）作BH⊥OQ交OQ的延长线于H．先证明△OAE≌△BOH，推出OE=BH，AE=OH，再证明△OED≌△BHQ，推出DE=QH，推出AD-OQ=AE+DE-（OH-HQ）=2DE，于是得到结论；
（3）如图3中，作OE平分∠AOB交AD于E．只要证明△AOE≌△OBC，推出OE=OC，再证明△ODE≌△ODC，推出∠ODE=∠ODC，由∠ODE=∠BDN，可得∠ODC=∠BDN，由此即可解决问题．

（1）证明：
∵BF⊥AD，DG⊥BF，OE∥BF，
∴∠DEA=∠OGB=90°，
∵∠OAE=∠DOE=∠OBG，OA=OB，
∴△AOE≌△BOG（AAS），
∴AE=BG；
（2）解：如图2中，作BH⊥OQ交OQ的延长线于H．
∵AD是∠OAB的角平分线，
∴∠OAD=22.5°，
∴∠ADO=67.5°，
∵AD⊥OE，

∴∠BOH=∠OAD=22.5°，
∵OA=OB，∠AEO=∠H=90°，
∴△OAE≌△BOH（AAS），
∴OE=BH，AE=OH，
∵AF⊥OH，OH⊥BH，
∴∠ADO=∠OBH=67.5°，
∵∠OBA=45°，
∴∠HBQ=∠DOE=22.5°，
∵∠OED=∠H=90°，
∴△OED≌△BHQ，
∴DE=QH，
∴AD-OQ=AE+DE-（OH-HQ）=2DE，
∴．
（3）解：如图3中，作OE平分∠AOB交AD于E．

∵OC∥AB，
∴∠COB=∠ABO=∠AOE=45°，
∵OA=OB，∠OAE=∠OBC，
∴△AOE≌△OBC（ASA），
∴OE=OC，
∵∠EOD=∠DOC，OD=OD，
∴△ODE≌△ODC（SAS），
∴∠ODE=∠ODC，
∵∠ODE=∠BDF，
∴∠ODC=∠BDF，
∵∠CDF+∠ODC+∠BDF=180°，
∴∠CDF+2∠BDF=180°．