Question

【题目】和中，，，，交于点，.

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，若平分，求证：；

（3）若，交于，且为等腰三角形，则______.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或

【解析】

（1）只要证明△ABC≌△ADE（SAS）即可解决问题；
（2）过A作AM⊥BC于M，作AN⊥DE于N，想办法证明△ABO≌△AEO（ASA）即可解决问题；
（3）分两种情形讨论即可解决问题；

（1）证明：设AD交OB于K．
在△ABC和△ADE中

，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠B=∠D，
∵∠AKB=∠DKO，
∴∠BOD=∠BAD=α
（2）过A作AM⊥BC于M，作AN⊥DE于N
∵△ABC≌△ADE，
∴S△ABC=S△ADE，
∴ BCAM＝DEAN，
∵BC=DE，
∴AM=AN
∴AO平分∠BOE，
∵AO平分∠DAC，
∴∠DAO=∠CAO，
∴∠BAO=∠EAO
在△ABO和△AEO中，
，

∴△ABO≌△AEO（ASA）
∴AB=AE，
∵AB=AD，AC=AE，
∴AC=AD，
（3）由（2）可知∠AOB=∠AOF，
∴∠AOF≠∠OAF（否则CA∥CB），
∴只有AO=AF或OA=OF，
①当AO=AF时，∠AOF=∠AFO=∠AOB=α+30°，
∴∠AOB+∠AOF+∠FOC=180°，
∴2（α+30）+α=180°，
∴α=40°．
②当OA=OF时，∠OAF=∠OFA=α+30°，
∴∠AOB=∠AOF=180°-2（α+30°），
∴2[180°-2（α+30）]+α=180°，
∴α=20°，
综上所述，α=40°或20°