Question

【题目】如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E

（1）证明：直线PD是⊙O的切线.

（2）如果∠BED=60°，，求PA的长．

（3）将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.

【解析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；
（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；
（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．

（1）如图1，连接OD，

∵AB是圆O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠BDO=90°，

又∵DO=BO，

∴∠BDO=∠PBD，

∵∠PDA=∠PBD，

∴∠BDO=∠PDA，

∴∠ADO+∠PDA=90°，

即PD⊥OD，

∵点D在⊙O上，

∴直线PD为⊙O的切线．

（2）解：∵BE是⊙O的切线，

∴∠EBA=90°，

∵∠BED=60°，

∴∠P=30°.

∵PD为⊙O的切线，

∴∠PDO=90°，

在Rt△PDO中，∠P=30°，，

∴，解得OD=1，

∴，

∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1.

（3）证明：如图2，

依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，

∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，

∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，

∵AB是圆O的直径，

∴∠ADB=90°，

设∠PBD=x°，

则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，

∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，

即90°+x+2x=180°，

解得x=30°

∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°.

∵BE、ED是⊙O的切线，

∴DE=BE，∠EBA=90°，

∴∠DBE=60°，

∴△BDE是等边三角形．

∴BD=DE=BE，

又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，

∴△BDF是等边三角形．

∴BD=DF=BF，

∴DE=BE=DF=BF，

∴四边形DFBE为菱形.