Question

【题目】在Rt△ABO中，∠AOB=90°，OA=，OB=4，分别以OA、OB边所在的直线建立平面直角坐标系，D为x轴正半轴上一点，以OD为一边在第一象限内作等边△ODE．

（1）如图①，当E点恰好落在线段AB上时，求E点坐标；

（2）在（Ⅰ）问的条件下，将△ODE沿x轴的正半轴向右平移得到△O′D′E′，O′E′、D′E′分别交AB于点G、F（如图②）求证OO′=E′F；

（3）若点D沿x轴正半轴向右移动，设点D到原点的距离为x，△ODE与△AOB重叠部分的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）E（1，）；（2）证明见解析；（3）见解析.

【解析】（1）由题意作辅助线，作EH⊥OB于点H，由BO=4，求得OE，然后求出OH，EH，从而得出点E的坐标；

（2）假设存在，由OO′=4-2-DB，而DF=DB，从而得到OO′=EF；

（3）根据题意分三种情况写出解析式即可．

（1）作EH⊥OB于点H，

tan∠ABO===，

∴∠ABO=30°，

∵△OED是等边三角形，

∴∠EOD=60°．

又∵∠ABO=30°，

∴∠OEB=90°．

∵BO=4，

∴OE=OB=2．

∵△OEH是直角三角形，且∠OEH=30°

∴OH=1，EH=．

∴E（1，）；

（2）∵∠ABO=30°，∠EDO=60°，

∴∠ABO=∠DFB=30°，

∴D′F=D′B．

∴OO′=4﹣2﹣D′B=2﹣D′B=2﹣D′F=E′D′﹣FD′=E′F；

（3）当0＜x≤2时，△ODE与△AOB重叠部分的面积为△ODE面积=x2，

当2＜x＜4时，△ODE与△AOB重叠部分的面积为四边形GO′DF面积=﹣x2+2x﹣2，

当x≥4时，△ODE与△AOB重叠部分的面积为2．