Question

【题目】小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是：①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；②沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处，再折出PB、PC，最后用笔画出△PBC(图1)．

（1）求证：图1中的 PBC是正三角形：

（2）如图2，小明在矩形纸片HIJK上又画了一个正三角形IMN，其中IJ=6cm，

且HM=JN．

①求证：IH=IJ

②请求出NJ的长；

（3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为6cm，当另一边的长度a变化时，在矩形纸片上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同．请根据小明的发现，画出不同情形的示意图(作图工具不限，能说明问题即可)，并直接写出对应的a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②12-6（3）3＜a＜4，a＞4

【解析】（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；

（2）①利用“HL”证Rt△IHM≌Rt△IJN即可得；②IJ上取一点Q，使QI=QN，由Rt△IHM≌Rt△IJN知∠HIM=∠JIN=15°，继而可得∠NQJ=30°，设NJ=x，则IQ=QN=2x、QJ=x，根据IJ=IQ+QJ求出x即可得；

（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可．

（1）证明：∵①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB与DC重合，得到折痕EF

∴PB=PC

∵沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处

∴PB=BC

∴PB=PC=BC

∴△PBC是正三角形：

（2）证明：①如图

∵矩形AHIJ

∴∠H=∠J=90°

∵△MNJ是等边三角形

∴MI=NI

在Rt△MHI和Rt△JNI中

∴Rt△MHI≌Rt△JNI（HL）

∴HI=IJ

②在线段IJ上取点Q，使IQ=NQ

∵Rt△IHM≌Rt△IJN，

∴∠HIM=∠JIN，

∵∠HIJ=90°、∠MIN=60°，

∴∠HIM=∠JIN=15°，

由QI=QN知∠JIN=∠QNI=15°，

∴∠NQJ=30°，

设NJ=x，则IQ=QN=2x，QJ=x，

∵IJ=6cm，

∴2x+x=6，

∴x=12-6，即NJ=12-6（cm）．

（3）分三种情况：

①如图：

设等边三角形的边长为b，则0＜b≤6，

则tan60°=，

∴a=，

∴0＜b≤=；

②如图

当DF与DC重合时，DF=DE=6，

∴a=sin60°×DE==，

当DE与DA重合时，a=，

∴＜a＜；

③如图

∵△DEF是等边三角形

∴∠FDC=30°

∴DF=

∴a＞