Question

【题目】如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长为 ．

Answer 1

【答案】7或
【解析】解：①当点A落在如图1所示的位置时，

∵△ACB是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°，

∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN，

∴∠BMD=∠NDC，

∴△BMD∽△CDN．

∴得 = = ，

∵DN=AN，

∴得 = = ，

∵BD：DC=1：4，BC=10，

∴DB=2，CD=8，

设AN=x，则CN=10﹣x，

∴ = = ，

∴DM= ，BM= ，

∵BM+DM=30，

∴ + =10，

解得x=7，

∴AN=7；

②当A在CB的延长线上时，如图2，

与①同理可得△BMD∽△CDN．

∴得 = = ，

∵BD：DC=1：4，BC=10，

∴DB= ，CD= ，

设AN=x，则CN=x﹣10，

∴ = = ，

∴DM= ，BM= ，

∵BM+DM=10，

∴ + =10，

解得：x= ，

∴AN= ．

所以答案是：7或 ．

【考点精析】通过灵活运用翻折变换（折叠问题）和相似三角形的判定与性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．