Question

【题目】如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1．若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B；②s=（0＜x＜2）；③当x=1时，四边形ABC1D1是正方形；④当x=2时，△BDD1为等边三角形；其中正确的是 （填序号）．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

试题分析：①根据矩形的性质，得∠DAC=∠ACB，再由平移的性质，可得出∠A1=∠ACB，A1D1=CB，从而证出结论；

②易得△AC1F∽△ACD，根据面积比等于相似比平方可得出s与x的函数关系式

③根据菱形的性质，四条边都相等，可推得当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形．

④当x=2时，点C1与点A重合，可求得BD=DD1=BD1=2，从而可判断△BDD1为等边三角形．

解：①∵四边形ABCD为矩形，

∴BC=AD，BC∥AD

∴∠DAC=∠ACB

∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，

∴∠A1=∠DAC，A1D1=AD，AA1=CC1，

在△A1AD1与△CC1B中，

，

∴△A1AD1≌△CC1B（SAS），

故①正确；

②易得△AC1F∽△ACD，

∴

解得：S△AC1F=（x﹣2）2 （0＜x＜2）；故②正确；

③∵∠ACB=30°，

∴∠CAB=60°，

∵AB=1，

∴AC=2，

∵x=1，

∴AC1=1，

∴△AC1B是等边三角形，

∴AB=D1C1，

又AB∥BC1，

∴四边形ABC1D1是菱形，

故③错误；

④如图所示：

则可得BD=DD1=BD1=2，

∴△BDD1为等边三角形，故④正确．

综上可得正确的是①②④．

故答案为：①②④