Question

【题目】如图，AB为半圆的直径，点C是弧AD的中点，过点C作BD延长线的垂线交于点E．
（1）求证：CE是半圆的切线；
（2）若OB=5，BC=8，求CE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，连接AD、OC，OC交AD于F．

∵ = ，

∴OC⊥AD，

∴AF=FD，∵OA=OB，

∴OF∥BD，即OC∥BE，

∵EC⊥EB，

∴EC⊥OC，

∴EC是⊙O的切线．

（2）解：连接AC，作OH⊥AC于H．

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴AC= = =6，

∵OH⊥AC，

∴AH=CH=3，OH= =4，

∵S△AOC= ACOH= COAF，

∴AF= = ，

∴DF=AF= ，

∵∠E=∠ECF=∠CFD=90°，

∴四边形ECFD是矩形，

∴EC=DF= ．

【解析】（1）欲证明EC是⊙O的切线，只要证明EC⊥OC，只要证明OC∥EB即可．（2）连接AC，作OH⊥AC于H，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC，再求出OH，利用S△AOC= ACOH= COAF求出AF，再证明CE=DF=AF即可解决问题．