Question

【题目】如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（　　）

A. △ADF≌△CGE

B. △B′FG的周长是一个定值

C. 四边形FOEC的面积是一个定值

D. 四边形OGB'F的面积是一个定值

Answer 1

【答案】D

【解析】A、根据等边三角形ABC的外心的性质可知：AO平分∠BAC，根据角平分线的定理和逆定理得：FO平分∠DFG，由外角的性质可证明∠DOF=60°，同理可得∠EOG=60°，∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，可证明△DOF≌△GOF≌△GOE，△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，可得AD=CG，AF=CE，从而得△ADF≌△CGE；

B、根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF=GF=GE，所以△ADF≌△B'GF≌△CGE，可得结论；

C、根据S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE，依次换成面积相等的三角形，可得结论为：S△AOC=S△ABC（定值），可作判断；

D、方法同C，将S四边形OGB'F=S△OAC-S△OFG，根据S△OFG=FGOH，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，可作判断．

A、连接OA、OC，

∵点O是等边三角形ABC的外心，

∴AO平分∠BAC，

∴点O到AB、AC的距离相等，

由折叠得：DO平分∠BDB'，

∴点O到AB、DB'的距离相等，

∴点O到DB'、AC的距离相等，

∴FO平分∠DFG，

∠DFO=∠OFG=（∠FAD+∠ADF），

由折叠得：∠BDE=∠ODF=（∠DAF+∠AFD），

∴∠OFD+∠ODF=（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，

∴∠DOF=60°，

同理可得∠EOG=60°，

∴∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，

∴△DOF≌△GOF≌△GOE，

∴OD=OG，OE=OF，

∠OGF=∠ODF=∠ODB，∠OFG=∠OEG=∠OEB，

∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，

∴AD=CG，AF=CE，

∴△ADF≌△CGE，

故选项A正确；

B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，

∴DF=GF=GE，

∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，

∴B'G=AD，

∴△B'FG的周长=FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值），

故选项B正确；

C、S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC=S△ABC（定值），

故选项C正确；

D、S四边形OGB'F=S△OFG+S△B'GF=S△OFD+△ADF=S四边形OFAD=S△OAD+S△OAF=S△OCG+S△OAF=S△OAC-S△OFG，

过O作OH⊥AC于H，

∴S△OFG=FGOH，

由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，

故选项D不一定正确；

故选：D．