Question

【题目】（1）如图①，正方形的两边分别在正方形的边和上，连接．填空：线段与的数量关系为________；直线与所夹锐角的大小为________．

（2）如图②，将正方形绕点顺时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．

（3）把图②中的正方形都换成菱形，且，如图③，直接写出______．

Answer 1

【答案】（1）①，②45°；（2）仍然成立，见解析；（3）

【解析】

（1）根据正方形的性质即可得出答案；

（2）过作，且，连接，，并延长交、交于点，证明，接着证明四边形是平行四边形，即可得出答案；

（3）过作∠GDH=120°，且，连接，，证明，接着证明四边形是平行四边形，再过点D作DM⊥GH于点M，证出GM=GH=CF，DM=DG，再利用勾股定理计算即可得出答案．

解：（1）①线段与的数量关系为；

②直线与所夹锐角的度数为45°．

连接AF，根据正方形的性质可得A、F、C三点共线，∠CAD=45°

∵AF=AG，AC=AD

∴CF=AC-AF=(AD-AG)=DG

（2）仍然成立，证明如下：

过作，且，连接，，并延长交、交于点

∵四边形是正方形

∴，

∵

∴

∴

∴

在和中，

∴，

∴，

∵四边形是正方形

∴，，∴

∵，

∴

∴，

，

∴

∴

∴四边形是平行四边形

∴，

在中，

∴，

即，

∵

∴，即直线与所夹锐角的度数为45°；

（3）过作∠GDH=120°，且，连接，

∵四边形是菱形 ，

∴，∠ADC=120°

∵∠GDH=120°

∴

∴

在和中，

∴，

∴，

∵四边形是菱形

∴，，

∴

∵，

∴

∴，

，

∴

∴

∴四边形是平行四边形

∴，

过点D作DM⊥GH于点M

∴GM=GH=CF，DM=DG

在Rt△DGM中，

∴GM=DG，

∴DG：CF=．