Question

【题目】已知：四边形ABCD是正方形，E是AB边上一点，F是BC延长线上一点，且DE=DF．
（1）如图1，求证：DF⊥DE；
（2）如图2，连接AC，EF交于点M，求证：M是EF的中点．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴DA=DC，∠DAE=∠DCB=90°．

∴∠DCF=180°﹣90°=90°．

∴∠DAE=∠DCF．

在Rt△DAE和Rt△DCF中， ，

∴Rt△DAE≌Rt△DCF（HL）．

∴∠ADE=∠CDF，

∵∠ADE+∠CDE=90°，

∴∠CDF+∠CDE=90°，

即∠EDF=90°，

∴DF⊥DE

（2）证明；过点F作GF⊥CF交AC的延长线于点G，

则∠GFC=90°．

∵正方形ABCD中，∠B=90°，

∴∠GFC=∠B．

∴AB∥GF．

∴∠BAC=∠G．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，

∴∠BAC=∠BCA=45°．

∴∠BAC=∠BCA=∠FCG=∠G=45°．

∴FC=FG．

∵△DAE≌△DCF，

∴AE=CF．

∴AE=FG．

在△AEM和△GFM中， ，

∴△AEM≌△GFM（AAS）．

∴ME=MF．

即M是EF的中点

【解析】（1）由正方形的性质得出DA=DC，∠DAE=∠DCB=90°．得出∠DAE=∠DCF．由HL证明Rt△DAE≌Rt△DCF，得出∠ADE=∠CDF，证出∠EDF=90°即可；（2）证明；过点F作GF⊥CF交AC的延长线于点G，则∠GFC=90°．AB∥GF．得出∠BAC=∠G．由正方形的性质证出FC=FG．得出AE=FG．由AAS证明△AEM≌△GFM，得出ME=MF即可．
【考点精析】利用正方形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．